4차 산업혁명은 제조업에서 처음 등장한 것으로 물리적 제조 기술과 빅데이터, 인공지능, 클라우드 컴퓨터 등 디지털 기술을 결합하는 것이다(Y. E. Kim et al., 2024). 4차 산업혁명시대에는 기업의 경쟁이 매우 치열하게 전개되고 있으며 과열된 경쟁에서 상대 기업에 비해 우위를 점하는 것은 쉽지 않다. 이처럼 치열한 경쟁 속에서 살아남기 위해서는 기술경쟁력과 혁신을 통한 기업의 성장이 반드시 필요하다(I. J. Kim et al., 2022; Son and Bae, 2024). 기업은 제품 또는 서비스를 만들고 판매한 후에도 소비자 만족도를 높이기 위하여 판매후 일정기간 동안 발생하는 제품의 고장에 대하여 보증을 제공하는 것이 일반적이다. 보증정책은 제품 판매 후 일정기간 발생하는 결함이나 고장에 대하여 생산자나 판매자가 수리 또는 교체 등의 서비스를 해준다는 일종의 소비자와의 계약이다. 기업은 소비자에게 제품의 하자를 보증하는 서비스를 제공함으로써 소비자의 만족도를 높일 수 있을 뿐 아니라 기업의 이미지 제고에도 도움이 된다. 하지만 이윤 극대화를 목표로 하는 경우 과도한 보증정책과 그에 따른 비용은 기업 경영에 차질을 초래한다. 본 연구에서는 보증 비용을 분석함으로서 기업이 보증 제도를 시행하는데 보다 적절한 정책을 만들 수 있도록 결정하는 모형을 제공한다.

지금까지, 많은 연구자가 보증정책에 따른 비용을 분석하기 위해 수익 모형을 개발하였다. Kim and Murthy(2000)는 생산자와 소비자가 관심을 갖는 혼합보증정책을 이차원적 접근법으로 분석하였다. Park and Kim(2014)은 Freund(1961)의 이변량 지수분포를 이용하여 고장시간과 수리시간을 이용한 보증정책의 비용을 분석했다. 그들은 제품을 사용할 때 제품의 수명과 사용 기간이 제품의 하자에 미치는 효과는 서로 영향을 끼친다고 볼 수 있기 때문에 두 변수가 통계적으로 종속적인 구조를 가지는 모형을 개발했다. Frenud(1961) 이외에도 Marshall and Olkin(1967)의 이변량 지수분포는 특별한 성질인 무기억성(Memoryless property)을 이용할 수 있기 때문에 복잡한 계산을 간단히 처리할 수 있는 장점이 있다.

기업이 보증정책을 수립하는데 있어 고객의 청구건수를 추정하는 것은 수익분석 모델을 수립하는데 가장 중요하다. 본 연구에서는 여러 가지 방법 중 코플라 함수(Copula function)를 이용하여 보증청구 횟수를 예측한다. 코플라 함수는 여러 확률변수가 서로 영향을 미치는 경우에 종속적인 관계를 반영하여 다변량 분포를 만들어 주는 도구이다. Sklar(1973)에 의하면 코플라 함수는 주변확률분포를 통하여 쉽게 결합확률분포를 추정할 수 있는 장점때문에 학문적 또는 실용적인 측면에서 매우 유용하여 최근 주목을 받고 있다. 복잡한 상관관계모형이 필요한 신뢰성분석에도 코플라 함수가 많이 사용되고 있으며 코플라함수를 이용하는 것은 기존의 방법들이 서로 다른 분포를 가지는 확률변수에 대해서는 결합확률분포를 얻기가 쉽지 않았던 한계를 극복하였기 때문에 제품의 고장주기와 심도와 같이 동일하지 않은 확률변수를 결합할 수 있다. 코플라함수에 대한 여러 가지 내용은 Nelsen(2006)의 연구에서 찾아볼 수 있다. 또한, Navarro and Spizzichino(2010)은 코플라 함수를 이용하여 직렬배치시스템과 병렬배치시스템을 비교하였고 Jia et al.(2010)은 k-out-of n: G 시스템의 신뢰성을 연구하였다. Wu(2014)는 비대칭적인 코플라 함수를 사용하여 기존의 이변량 분포가 가지는 결함을 극복하고 2차원 신뢰성 모형을 개발하였다. Noh et al.(2009)은 가우시안(Gaussian) 코플라 함수를 이용하여 신뢰성분야 최적화문제를 해결하였고 베이지안기법과 마코프체인 몬테카를로(Markov chain Monte Carlo)기법을 사용하는 경우와 비교하였다. Goda(2010)는 신뢰성평가문제에 대하여 코플라 함수를 이용하여 비선형 상관계수의 효과를 분석하였다. Uzielli and Mayne(2012)도 코플라 함수를 이용하여 제품의 신뢰성을 분석하였다. Tang et al.(2013)는 코플라 함수를 이용하여 이변량 분포를 만들고 서로 다른 코플라 함수의 효과를 연구하였다. Jiang et al.(2014)는 코플라 함수를 가지고 구조적인 신뢰도 모형을 세워 분석하였다. Lin and Li(2014)는 Marshall and Olkin(1967)의 다변량 분포와 코플라 함수를 이용하여 시스템의 잔여수명을 분석하였다. Lee and Jia(2015)는 이차원 보증정책을 가진 제품에 대해 불완전 예방보전 서비스를 가정하고 코플라 함수를 이용하여 수익모형을 개발했다. 그들은 생산자입장에서 보증비용을 최소화하는 예방보전 서비스의 주기(cycle) 등을 찾아냈다.

일차원 보증 정책은 시간에 의한 보증으로 보증기간안에 발생한 고장에 대해서 보증정책에 명시된 대로 생산자나 판매자로부터 적절한 서비스를 받는다. 이차원 보증정책은 두 가지 변수(예를 들면, 시간과 사용량)를 갖는 이차원 영역을 이용하여 해당 영역 내에서 발생한 고장에 대해서는 판매 시 명시된 보증정책에 의해 생산자나 판매자로부터 적절한 조치를 받는다. 제품보증정책은 고장에 대한 소비자의 부담정도에 따라 무료보증과 비례보증으로 나누는데, 무료보증정책(Free repair/replacement warranty)에서는 보증기간 내에 고장난 제품에 대해서 생산자가 무료로 수리해 주거나 교체를 해준다. 반면에 비례보증정책(Pro-rata warranty)은 보증기간 내에 고장난 제품에 대해 제품의 판매 가격의 일부를 사용기간 혹은 사용량에 비례해서 소비자에게 부담시키는 정책이다. 혼합보증정책(Combined warranty)은 무료보증정책과 비례보증정책을 혼합한 것으로 일정기간에는 고장난 제품에 대해 무료로 수리 혹은 교환을 해주다가 그 후에는 비례보증을 실시한다. 시간을 고려한 1차원 보증에 관한 연구는 지금까지 많이 이루어졌으나 시간과 사용량을 이용한 2차원적 보증의 경우는 연구성과가 상대적으로 많지 않다. 2차원 보증에 관한 연구로서 Murthy and Blischke(1992)는 2차원 보증정책의 종류와 비용 추정문제를 제시하였고, Moskowitz and Chun(1994)은 생산자가 동일한 보증비용으로 다양한 보증영역을 제시하여 소비자가 임의로 보증영역을 선택할 수 있는 보증정책을 제시하였다. 또한, Chun and Tang(1999)은 제품의 사용률에 따른 이차원 보증정책을 제시하였다.

본 논문에서는 코플라 함수를 이용하여 이변량 분포를 생성하고 이를 이용하여 제품의 고장에 따라 청구된 보증의 빈도를 추정한다. 이차원 보증정책을 이용하고 무료보증정책을 고려하여 분석모형을 개발한다. 각각의 변수가 가지는 모수와 두 변수 사이의 상관관계가 보증의 빈도에 미치는 영향을 분석한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 이차원적 접근법과 코플라 함수를 이용한 고장률 수익분석모형을 개발한다. 3장에서는 2장에서 개발한 모형을 이용하여 수치예제를 보이고 4장에서는 결론으로 마무리한다.

이차원 보증정책의 경우에 제품은 수리가 불가능하다고 가정하고 교체서비스만 고려한 경우가 많았다. 보증기간 내에 고장난 제품은 새로운 제품으로 교환이 이루어지고 교환시간은 평균고장시간에 비해 상대적으로 짧기 때문에 무시한다고(negligible) 가정한다. 만약 제품의 고장을 일으키는 요인들이 서로 독립된 관계가 아니라면 여러 요인의 신뢰성 함수를 결합하기 위한 접근법이 필요하다. 본 연구에서는 코플라 함수를 이용하여 여러 요인의 신뢰성 함수를 결합하고 다변량 분포를 구한다. 보증기간 동안의 보증비용을 구하기 위해서는 사용거리와 사용기간과의 관계, 그리고 제품고장과의 관계를 모형화해야 한다. 제품 판매시 시간을 0이라고 하고, T(t)와 D(t)는 t시점의 제품 누적 사용시간과 누적 사용량이라고 가정한다. 만약, 고장이 발생하지 않거나 고장난 모든 제품은 수리가 가능하고 수리 시간은 무시한다고(Negligible) 가정하면 T(t) = t가 된다. 사용률을 확률변수 U로 놓으면 U=D(t)T(t)이다. 고장난 제품이 수리 불가능하거나 [0, t]동안 한번 이상의 고장이 발생하면 T(t) < t가 된다. 일차원 접근방법에서는 D(t)는 T(t)의 함수로 나타낼 수 있고 이는 제품의 사용량을 사용기간의 함수로 나타낼 수 있다는 것을 의미한다. 사용기간을 사용량의 선형함수라고 가정하면 확률변수 U = u인 경우 현재시점 t에서의 사용량은 D(t) = ut가 된다.

이 장에서는 본 연구에서 개발한 모형을 가지고 데이터를 이용하여 수치예제를 작성하고 민감도 분석을 행한다. 여러 코플라 함수들을 이용하여 보증서비스 청구횟수를 예측하고 결과값을 서로 비교한다. 보증기간 w₁의 기본 단위는 년(year)로 하여 2년부터 6년까지 1년단위로 가정하였다. 고장시간은 신뢰성 분석에서 가장 많이 쓰이는 분포 중 하나인 와이블 분포를 이용하여 분석하고 수리시간은 로그정규분포를 따른다고 가정하였다. 와이블 분포의 척도 모수 α값은 1, 2, 3를 대입하였고 형상모수 β값은 1.0, 1.5, 2.0를 대입하였다. 실험은 5,000번 반복실시하였고 그 외 다른 변수들은 다음과 같이 가정하였다.

Table 2에서 알 수 있듯이 전반적으로 보증기간이 길어질수록 보증서비스 횟수가 늘어난다. 또한, α값이 작을 때는 β값이 증가할수록 보증서비스 횟수는 증가하였고 α값이 증가하면 β값이 보증서비스 횟수에 상대적으로 작은 영향을 끼쳤다. Table 2를 보면 다섯가지 코플라 함수를 이용하였고 코플라 함수간의 예상 보증서비스 빈도수에는 큰 차이가 나지 않았다. 예상 보증서비스의 빈도의 변화는 여러 가지 변수들의 상호작용으로 결정되므로 단순히 고장시간의 형상모수가 크면 무조건 보증서비스 빈도수가 증가한다기 보다는 보증기간 전반 또는 후반에 고장이 몰리는 현상도 있는 것으로 보인다. 보증기간이 짧은 경우 형상모수가 증가하면 예상 보증서비스의 빈도수는 증가하지만 보증기간이 긴 경우에는 형상모수가 증가하면 예상 보증서비스의 빈도수는 많이 증가하지 않았다. 쉽게 예상할 수 있듯이 보증횟수를 예측하는 경우에는 보증기간이 가장 중요한 요소라고 판단된다. 제품의 고장특성에 따라 여러 가지 코플라 함수를 적용할 수 있다. 클레이튼 코플라함수는 하단 의존성이 높은 경우, 즉 보증기간 초기에 보증이 많이 청구되는 경우 적합하다. 또한, 검벨 코플라함수는 반대로 보증기간 말기, 또는 수명이 끝나갈 때 청구되는 보증 횟수가 많을 때 적합하다. 프랭크(Frank)와 가우지안(Gaussian) 코플라함수는 한쪽에 민감하지 않은 경우에 적합하며 t 코플라 함수는 극단값이 발생하는 경우에 적합하다.

본 연구의 의의는 코플라 함수의 도입을 통해 기존 연구에서 한정적으로 제시되었던 이변량 분포 기반의 보증 청구 횟수 예측을 보다 유연하고 실용적으로 확장했다는 점에 있다. 기존의 보증 청구 분석은 대부분 단변량 분포를 가정하거나, 제한된 형태의 이변량 분포에만 의존함으로써 실제 데이터의 상관 구조를 충분히 반영하지 못하는 한계가 있었다. 본 연구는 이러한 한계를 극복하기 위해 코플라 함수의 장점을 적극적으로 활용하였으며, 이를 통해 상관성이 높은 변수들 간의 복잡한 의존 관계를 정밀하게 모형화할 수 있음을 보여주었다.

특히, 코플라 함수는 서로 다른 분포를 가지는 확률 변수들 간의 결합 확률 분포를 유연하게 기술할 수 있는 수학적 도구로, 상관 구조를 개별적으로 분리하여 다룰 수 있는 독보적인 장점을 지닌다. 본 연구에서는 이러한 특성을 살려 클레이톤 코플라(Clayton copula)와 검벨 코플라(Gumbel copula) 등을 적용함으로써 공통 모수를 공유하는 이변량 지수 분포를 구성하고, 이를 기반으로 보증 청구 횟수를 더욱 현실적이고 정교하게 예측할 수 있는 분석 모델을 제안하였다. 이러한 방법론은 기존의 단순 상관계수 기반 접근법에 비해 훨씬 더 다양한 상관 구조를 반영할 수 있어, 예측의 신뢰성과 정확도를 크게 향상시켰다는 점에서 의의가 크다.

또한, 본 연구는 코플라 기반 이변량 모델을 실증적으로 검증함으로써, 이론적 타당성뿐 아니라 실제 데이터 분석에서도 높은 적합성과 실용성을 확보하였다. 이는 기업의 보증 비용 관리, 소비자 보호 및 품질 정책 결정에 있어 더 나은 의사결정 근거를 제공할 수 있음을 시사한다.

향후 연구 과제로는 여러 코플라 함수와 확률 변수 조합을 적용해, 보다 복잡한 보증 청구 데이터나 제품의 특성을 반영한 상품군별 보증 정책을 정밀하게 반영할 수 있는 보증 청구 횟수 예측 모델을 개발하는 것이 있다. 나아가, 이러한 최적화된 청구 횟수 예측 결과를 바탕으로 전체 보증 비용을 계량화하고, 이를 기업의 품질 개선 및 경쟁력 강화 전략으로 연결시키는 방안도 모색할 필요가 있다. 이와 같은 연구는 보증 정책 수립과 소비자 보호를 위한 정책적·경제적 의사결정에 실질적으로 기여할 수 있을 것으로 기대된다.