다구찌는 기본적으로 “품질특성치의 값이 목표치로부터의 편차가 클수록 손실은 커지며 편차가 0이면 손실은 없다”라는 가정 하에서 테일러 급수 전개로 다음과 같이 2차식으로 근사화된 품질손실함수 L(y)를 제안한 바 있다.

그리고 k=12L''(T)로 정의하여 L(y) = k(y-T)²과 같이 매우 단순한 일반식을 얻는데, k는 어떤 y값에 대해 그에 대응하는 L(y)의 값이 알려져 있다면 추정할 수 있는 상수이다. 만약 품질허용한계 ± d가 주어지면 (T-d, T+d)를 소비자의 품질허용한계의 구간으로 정의하고 y가 이 구간을 벗어날 때 소비자가 어떤 제품을 수리(또는 폐기)하는 데 C원의 비용이 든다고 하면 k=Cd2가 된다.

(단, y는 품질특성치의 실제치, T는 목표치)

특성치가 다수일 경우 품질특성치의 수가 2개 이상이므로 실제치와 목표치는 벡터(vector)가 된다. 품질특성치의 수가 t일 때, 실제치를 벡터 y, 목표치를 벡터 T라 놓고 y = T 일 때 Taylor 급수전개에 의한 손실함수 L(y)를 2차항까지만 포함시켜 근사화하면 식 (2. 2)와 같다.

단, [y-T]^'은 행벡터를 나타낸다. ∇와 ∇²은 각각 L(y)에 대한 기울기 벡터(gradient)와 헤시 행렬(Hessian matrix)이다. y = T 일 때 단일 특성치와 같이 손실이 최소가 되고 그 값을 벡터 0이라고 한다면, 다시 말해서 L(T) = 0, ∇L(T) = 0이 되므로 식 (2. 2)는 위 조건에 의해 식 (2. 3)과 같은 일반식이 도출된다.

다변수 함수는 그대로 2변수 함수에 대해서 적용할 수 있으므로, 식 (2. 3)으로부터 특성치가 두 개(t = 2)인 경우로 한정하면 손실함수는 (2. 4)와 같이 행렬연산으로 나타낼 수 있다.

그리고 2계편도함수 ∂2L(· )∂yi∂yj를 알아보기 쉽게 f_ij로 표시하고, 이것을 전개하면 1차항이 존재하지 않는 특수한 형태의 2차형식(quadratic forms)이 된다. 2차형식은 식 (2. 5)와 같이 간단하게 나타낼 수 있다(단, Young의 정리에 의해 f_ij = f_ji).

또한 분석의 편의를 위하여 (y_i -T_i)를 x_i로 표시하면, 2변수 품질손실함수는 식 (2. 6)으로 고쳐 쓸 수 있다.

그런데 2차형식 (2. 6)에는 2차항 x12, x22과 함께 교차항 x₁x₂가 존재하며, 이것 때문에 다특성치의 품질손실을 측정하기 어렵다고 볼 수 있다. 동승훈(1990)의 연구에서는 특성치 간 상관관계가 없다는 전제로, 교차항을 제외하고 수식을 전개하여 다특성치의 품질손실함수를 도출한 바, 다특성치 품질손실함수를 개별특성치의 품질손실함수의 단순합으로 파악하였다. 그러나 실제로 특성치 간 상관관계를 완전히 무시하는 것은 독특한 경우로서 현실적이지 않다. 특히 무(無)상관이나 양의 상관일 경우 다구찌 품질 파라미터의 설계는 각 특성치의 최적화만으로도 충분하지만 음의 상관이라면 최적 파라미터 설계가 복잡해진다. 따라서 본 연구의 가장 주요한 주제가 바로 특성치 간 상관관계를 고려하는 일반적인 품질손실함수를 도출하기 위한 것이고 이를 위해서는 교차항이 분석적 전개 과정에서 제외되어서는 안 될 것이다. 단, 식 (2. 6)에서 1차항이 존재하지 않는다는 사실에서 원점이 이차곡선의 중심이 되기 위한 필요충분조건을 충족시키고 있음을 알 수 있다. 이는 품질손실이 항상 양수이고 모든 특성치가 목표치와 일치할 때 그 최소값이 0이라는 사실을 상기한다면 직관적으로 이해할 수 있다.

논의의 전개를 위해 일단, 교차항이 존재하지 않는 품질손실 L₀의 상황을 가정하면, 위의 식 (2. 6)은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

이 식은 기하학적 통찰력을 가져다 준다. 식 (2. 6) 또는 식 (2. 7)과 같이 특성치가 2개인 품질손실의 2차형식은 양정부호형식(positive definite)이다. 즉 0이 아닌 벡터x1x2에 대하여 L(x₁,x₂) > 0이 성립하므로 L(x₁,x₂)는 양정부호형식이다. 그러므로 특성치가 두 개인 품질손실함수의 그래프는 3차원 공간(x₁,x₂,L)에서 타원포물면(elliptic paraboloid)이 되고(단, f₁₁≠f₂₂), 따라서 그 밑바닥(0, 0, 0)은 3차원의 그래프에서 계곡(U형)의 바닥에 해당되는 최소점을 나타내는, 입구가 타원인 빗살무늬토기 모양의 표면과 같은 곡면이 될 것이다.

그리고 2차형식 L₀ (x₁,x₂)에서 x₂ = 0이면, 품질손실 L₀ (x₁,0)는 x₁만의 함수가 된다. 다시 말해서 품질특성치가 2개인 경우라 하더라도, 두 번째(j = 2) 품질특성치의 실제치가 목표치와 일치하였을 때(y₂ = T₂, 즉 x₂ = 0), L0(x1,0) = 12f11x12 + 12f22(0)2으로서 단일 특성치의 상황과 동일하게 된다. 이제 단일 특성치인 y₁의 품질손실함수는 L(y₁) = k₁(y₁-T₁)², 즉 L(x₁) = k₁x₁²이 된다. 따라서 k1 = Cd12(단, C는 x₁ = d₁(품질허용한계)일 때의 품질손실)이므로 f11 = 2Cd12임을 알 수 있다. 즉 다특성치 품질손실의 계산과 관련된 계수 f₁₁는 단일 특성치 y₁의 품질손실함수에서 2k₁과 일치한다(동일한 추론에 따라 f22 = 2Cd22). 2변수 2차함수 L(x1,x2) = 12f11x12 + 2f12x1x2+f22x22에서 x₁에 관해 편미분할 때 x₂는 상수로 취급되므로, x₁에 관한 1계편도함수는 L^'(x₁,x₂) = f₁₁x₁ +f₁₂x₂, 그리고 x₁에 관한 2계편도함수는 L ^''(x₁,x₂) = f₁₁이 된다. 이와 마찬가지로 1변수의 2차함수 L(x1) = 12[f11x12]에서 x₁에 관한 1계도함수는 L^'(x₁) = f₁₁x₁, 2계도함수는 L ^''(x₁) = f₁₁이다. 즉, L ^''(x₁,x₂) = L ^''(x₁) = f₁₁이다.

이제 곡면 L = L₀ (x₁,x₂)를 (x₁,x₂) 좌표 평면에 평행하도록 평면 L₀ = C(C는 상수)로 절단하면 공간곡선이 생긴다. 이 공간곡선을 (x₁,x₂) 좌표 평면에 정사영(正射影, projection)하여 얻을 수 있는 평면곡선은 등고선(level curve)임을 추론할 수 있다. 다시 말해서 식 (2. 7)로부터 곡면은

(단, L₀ ≥ 0)

로 분명하게 나타낼 수 있으며, 평면 L₀ = C로 절단하여 얻을 수 있는 (x₁,x₂) 좌표 위의 곡선은, 중심의 점이 (0, 0) 이고 반장축이 d₁, 반단축이 d₂인 다음 식 (2. 9)의 타원(여기서, d₁ > d₂)이 된다(만약, f₁₁ = f₁₂ 이면 d₁ = d₂ = d이므로 반지름이 d인 원이 됨).

그리고 식 (2. 9)의 타원 위의 한 점 (x₁,x₂)에서 (x₁,x₂,L₀) 3차원 공간 상 평면(plane)에 수직으로 내린 법선(normal vector)의 길이가 바로 C가 됨을 알 수 있다.

이제 다시 교차항이 있는 식 (2. 6)으로부터 기지의 상수 k₁, k₂와 미지의 계수 f₁₂를 포함하는 곡면의 공식을 도출하면, 식 (2. 10)과 같이 매우 단순한 식으로 표시 가능하다.

(단, L ≥ 0)

3차원 곡면 L과 곡면 L₀ 의 차이는 교차항 f₁₂x₁x₂으로 인해 단지 타원포물면의 변화로 나타날 뿐이다. 왜냐하면 L과 L₀ 은 3차원 공간에서 (0, 0, 0), (d₁, 0, C), (0, d₂, C) 세 점을 반드시 통과해야 하는 곡면이며, 따라서 곡면 L 역시 L₀와 같은 타원포물면으로써 모양과 위치만 다른 새로운 타원포물면임을 알 수 있다. 그러므로 타원포물면 L로부터 사영되는(L = C) 선 역시 타원임을 유추할 수 있으며, 만약 교차항 f₁₂x₁x₂ > 0이라면, 즉 x₁과 x₂가 같은 부호여야 f₁₂x₁x₂ > 0이 되는데, 일단 교차항이 0보다 크다면(f₁₂x₁x₂ > 0) 그 사영선은 타원의 모양도 달라지고 타원 등고선의 범위가 축소되어 원래 타원보다 안쪽으로 궤적을 그리게 될 것이다.

왜냐하면 안쪽 궤적은 L-f12x1x2 = k1x12+k2x22(=L0)이므로 L₀ 일 때와 비교해서 낮은 (x₁,x₂)수준에서 C가 결정됨을 의미한다. 이는 x₁과 x₂의 양(陽)의 결합효과 때문인 것으로 볼 수 있다. 반대로 x₁, x₂가 다른 부호라면(서로 반대 방향으로 움직이면), 교차항 f₁₂x₁x₂ < 0 경우로써 바깥쪽으로 궤적을 그리게 되는 음의 결합효과를 보일 것이다. 이를 적절한 좌표의 회전과 이동을 통해 새로운 타원의 식으로 표시할 수 있다.

식 (2. 11)은 중심의 점이 (-g, -h)이고 반장축이 δ₁, 반단축이 δ₂인 타원(단, δ₁ > δ₂)을 나타낸다. 곡면 L의 사영곡선이 타원이라는 사실은 매우 중요한 수학적 함의를 가진다. 타원포물면이나 원추곡면과 같은 2차 곡면으로부터 사영되는 곡선은 원, 타원, 포물선 및 쌍곡선 밖에 없으며 이들 곡선 방정식의 일반식은 다음과 같다.

(단, a, b, c, d, e, f 모두 상수)

곡면 L₀ 의 사영곡선의 방정식은 ax12 + cx22 = 0형으로, 즉 완전제곱꼴로 간단하게 해를 구할 수 있으나, 곡면 L의 경우(ax12 + cx22 + bx1x2 = 0)에는 적절한 좌표변환을 통해 bx₁x₂라는 교차항을 제거하여야 해를 구할 수 있다. 이는 삼각함수를 이용하면 가능한데, 특정 각 θ(θ=12tan-1ba-c만큼 좌표축을 회전하여 (x₁,x₂) 좌표계를 (w₁,w₂) 좌표계로 바꾸고 b를 0으로 만들 수 있으며(w₁ = x₁ cos θ +x₂ sin θ, w₂ = x₂ cos θ +x₁ sin θ), 이때 방정식은 다음과 같다(α = acos² θ +csin²θ +bsin θ cosθ, γ = asin² θ +ccos²θ -bsin θ cos θ).

(단, α, γ 모두 상수)

위 (2. 13)식을 토대로 원래의 품질손실함수(식 2. 10)는 다음과 같이 교차항이 없는 형태로 고쳐 쓸 수 있다.

(단, κ₁, κ₂는 변수변환에 따라 수정된 계수 k₁, k₂)

그러나 식 (2. 14)에서 볼 수 있는 바와 같이 변수변환을 통해 교차항은 제거될 수 있으나, 그렇게 하려면 식에 포함된 교차항 계수b, 즉 f₁₂가 먼저 정해지지 않으면 사실상 변수변환은 불가능하다는 것을 의미한다. 이 점이 바로 본 연구의 착안점으로써, 이때까지의 관련 선행연구가 다루지 못한 한계점이기도 하지만, 직관적으로 다특성치 품질손실함수의 도출 과정에 함수적 관계와 함께 통계학적 관계를 고려해야 함을 암시한다. 즉 f₁₂가 확정적이지 않으면 확률적 추정에 의할 수에 밖에 없다.

일단 기하학 이론에 의하면 αw12 + γw22 = 0에서 계수 α와 γ가 같지 않더라도(α≠γ) 부호가 같다면 판별식 (0) 2 -4αγ가 음수가 되어 타원의 방정식이 된다. 즉 원래 방정식 ax12 + cx22 + bx1x2 = 0의 판별식 b² -4ac가 변수변환과 좌표축을 회전하더라도 그 값은 변하지 않고 언제나 -4αγ와 같으므로 당연히 음수라는 사실을 알 수 있다. 이러한 증명된 사실로부터 f₁₂를 확정할 수 없지만 그 범위를 추론해 낼 수는 있다.

일단 식 (2. 9)를 방정식의 일반식 형태로 고쳐 쓰면 식 (2. 15)와 같다.

위 식에서 판별식 b²-4ac < 0은 f122-4(12f11)(12f22)<0을 의미하므로, 이로부터 f122<f11f22라는 매우 의미 있는 결과를 분석적으로 도출할 수 있다. 이것은 미지의 f₁₂의 범위를 다구찌 모형 내 “사전적으로 확인가능한” C, d₁, d₂로 표시할 수 있는 근거가 된다. 즉 f11 = 2Cd12>0, f22 = 2Cd22>0이므로 f122<(2Cd1d2)2이다.

만약 다수의 품질특성치가 확률변수일 경우, 교차항의 계수 f₁₂는 두 변수들 간의 관계를 나타내는 지표이므로, 확률변수들 간의 관계는 공분산으로 설명할 수 있다. 즉 두 변수의 교차항 계수가 확률적 관계라면 C_ov(x₁, x₂) > 0일 때, f₁₂x₁x₂ > 0, 반대로 C_ov(x₁, x₂) < 0일 때, f₁₂x₁x₂ < 0으로 나타날 것이다. 확률이론과 통계학에 따르면 공분산은 벡터의 내적(inner product)과 의미가 같다.

즉 기하학적 관점에서 두 변수 x₁, x₂의 관계는 벡터 x1→,x2→로 이해해야 한다. 따라서 벡터의 내적 x1→·x2→ = x1→x2→cosθ 공식으로부터 두 변수 사이의 선형적 관계를 x1→·x2→ x1→=x2→cosθ 또는 x1→·x2→ x2→=x1→cosθ로 설명 가능하다. 특히 두 변수가 서로를 설명하는 크기는 x1→·x2→x1→x2→=cosθ로 나타낼 수 있다. 이 식의 좌변이 바로 수학적으로 상관계수식과 의미가 정확하게 같다. 물론 좌변의 값은 스칼라이며 그 범위는 삼각함수에 의해 -1 ≤ cosθ ≤ 1 의 범위를 가진다.

따라서 두 변수가 같은 방향으로 움직이면 (0<θ<π2) 스칼라 값은 0 < cosθ < 1이므로 양수의 범위를 가지게 되고 교차항 전체가 0보다 크다는 의미이고, 두 변수가 다른 방향으로 움직이면 (π>θ>π2) 스칼라 값은 -1 < cosθ < 0이므로 음수의 범위를 가지게 되고 교차항 전체가 0보다 작다. 물론 두 변수가 직교하면(θ=π2), cosθ = 0이므로 교차항 f₁₂x₁x₂ = 0이어서 두 변수 간 상관관계가 없음을 의미한다.

다시 말해서 두 변수 간 설명의 크기는 1보다 클 수 없고, -1보다 작을 수 없다. 달리 설명하면 판별식으로부터 도출된 f122<(2Cd1d2)2의 부등식을 1보다 작은 어떤 파라미터를 이용하여 f122=r2(2Cd1d2)2 의 등식으로 변환가능하다(단, 0<r2=f122(2Cd1d2)2<1)하다. 또 이 등식의 양변에 제곱근을 취하면 f12 = r(2Cd1d2)로 고쳐 쓸 수 있다(단, -1 < r < 1). 파라미터 r의 범위가 가지는 의미는 매우 중요한데, 만약 r = 1이라면 판별식은 b²-4ac = 0이 되므로, 이는 타원포물면을 절단한 공간 곡선이 타원이 아닌 포물선이라는 의미이며, 포물선이 되려면 (x₁,x₂) 좌표 평면에 평행하지 않고 비스듬하게 절단하여 사영되어야 한다. 따라서 r < 1이어야 판별식 b² -4ac < 0의 조건을 만족시키므로 공간 곡선은 타원(원의 경우 d₁ = d₂) 밖에 없다. 단 r ≤-1이 되면 역시 포물선(r =-1, b² -4ac = 0) 또는 쌍곡선(r < -1, b² -4ac > 0)의 공간 곡선이 만들어지므로 -1 < r < 1의 범위를 가질 수밖에 없다.

결국 기하학적 관점에서도 r은 (x₁,x₂) 좌표평면에서 두 변수 간 선형 관계를 결정하는 모수인데, 이는 확률변수로서 품질특성치 간 관계를 공분산의 크기로 나타낼 수 있으나, 공분산은 품질특성치의 단위의 크기에 영향을 받는다. 따라서 품질특성치 간 관련성을 나타내며 동일한 범위의 값을 갖는 파라미터는 상관계수(correlation coefficient)로 추정할 수 있다. 즉 두 변량(요인) 간 상호 관계는 상관계수(ρ_ij)로 나타낼 수 있으며, 그 범위는 이론적으로는 엄격하게 -1 ≤ ρ_ij ≤ 1이다. 그러나 상관계수가 정확히 1 또는 -1의 값을 갖는다는 것은 두 변수 간에 선형 함수적 관계가 있다는 말이므로 확률적 관계를 고려할 필요가 없으며, 공간곡선의 결정 조건에도 맞지 않는다. 따라서 현장에서 통계적으로 관측하게 되는 상관계수는 -1 < ρ_ij < 1의 범위를 갖는다고 보면, 다특성치의 품질손실함수 추정을 위한 파라미터에 확률변수 통계량인 상관계수를 대입하는 것은 논리적 타당성과 함께 실무적 편의성을 가진다. 다구찌 품질손실함수는 특성치의 변동을 고려하면 특성치는 확률적 변수이며, 그 실무적 적용도 사실상 통계를 기반으로 한 기대품질손실함수를 바탕으로 이루어진다는 점을 감안한다면 현실적으로 확률적 통계량을 대용(surrogate)하는 것은 당연한 접근방법이라 할 수 있다.

실험이나 현장에서 여러 측정치의 표본(sample)만 확인한다면 상관계수를 계산하는 것은 어렵지 않다. 만약 두 품질특성치의 실제치와 목표치의 차이(noise)들 사이에 아무 상관관계가 없다면(ρ_ij = 0) 품질손실은 동승훈(1990)의 모형에서와 같이 단일 특성치의 품질손실의 단순합이 될 것이다. 또한 양(+)의 상관관계(0 < ρ_ij < 1, 즉 f₁₂x₁x₂ > 0)가 있다면 두 특성치의 결합효과로 인해 품질손실은 단순합보다 커질 것이며, 반대로 음(-)의 상관관계(-1 < ρ_ij < 0, 즉 f₁₂x₁x₂ < 0)가 있다면 특성치 간 상쇄효과로 단순합보다 작아질 것이라는 사실을 선험적으로 예상할 수 있다. 실무적 관점에서 무상관이거나 양의 상관의 경우 다구찌 실험계획법을 적용하는 데에는 큰 문제가 없을 것이다. 다만 음의 상관의 경우 각 특성치를 어떻게 설계할 것인가는 변수 간 상쇄효과를 감안할 때 어려움이 있다. 따라서 본 연구의 의의 중 하나는 이러한 선험적 예측에 대하여, 수학적 논거를 바탕으로 분석적인 정량화 과정을 보여주는 데 있다고 볼 수 있다.

이것은 타원 궤적의 위치 변동, 즉 교차항 f₁₂x₁x₂ > 0 또는 f₁₂x₁x₂ < 0경우 상관관계에 따라 상호작용 효과를 통해 궤적의 변화를 보이는 것은 기하학적으로도 확인되며, 영향의 정도는 상관계수의 크기에 따라 달라지므로 f12 = r(2Cd1d2)는 f12 = ρ12(2Cd1d2)로 나타낼 수 있으며, 교차항의 계수 f_ij는 다음과 같이 일반화할 수 있다. fij = ρij(2Cdidj)는 i = j의 경우에도 ρ_ij = 1이므로 똑같이 적용된다. 예컨대 f11 =2Cd12, f22 = 2Cd22이다.

이제 ∂2L(· )∂yi∂yi → fij 정의로부터 출발하여 f_ij가 확률적 통계량과 기지의 상수로 이루어진 값 ρij2Cdidj 임을 추론하였으며, 이에 의해 앞의 식 (2. 10)은 다음의 식 (3. 2)와 같이 쓸 수 있다.

또는 식 (3. 3)과 같다.

예를 들어 두 특성치 y₁, y₂를 가지는 어떤 제품을 가정하여 품질손실을 계산한다. 이때 특성치 측정단위가 다르더라도 특성치의 척도를 각각의 평균과 표준편차로 표준화하면 되므로, 측정단위는 무시하도록 한다. y₁ = 1001(목표치 T₁ = 1000), y₂ = 502(목표치 T₂ = 500)이 관찰되었고, 품질손실과 관련하여 C = 25, d₁ =± 4, d₂ =± 3으로 주어지고 실험 등에 의해 관측한 자료로써 두 특성치 간 통계적으로 유의적인 상관계수 ρ₁₂가 -1%라는 사실을 알고 있다면, 품질손실은 식 (3. 2) 또는 (3. 3)에 의해 쉽게 결정된다. 현실적으로 특성치와 목표치의 차이들 간에 통계적으로 유의적인 상관관계를 관측하기는 쉽지 않다. 또한 통계학적으로 유의한 상관계수는 선형성이 확연하므로 회귀분석의 필요성이 대두되고, 회귀분석에 의해 높은 결정계수가 관측된다면 이는 변수 간 인과관계(causality)를 보여주는 것이므로, 회귀분석의 변수를 단일 변수로 보게 되어 다특성치가 아닌 단일 품질특성치의 문제로 귀결된다. 그러나 변수 간 상관관계를 통계적 유의성에 비추어 각각 엄밀하게 고려하지 않으면, 다구찌 품질손실함수 개념의 실무적 적용은 개략적으로 이루어지게 되고 품질특성치의 최적 조합이라는 목표는 객관성이 결여된 결론의 도출로 무의미하게 될 것이다.

이제 품질손실함수의 형태를 결정하는 계수 k₁, k₂, f₁₂ 모두를 미리 알 수 있으므로 k1 = 2542 = 1.56, k2 = 2532  = 2.78 그리고 f12 = (-.01)2×254×3 = (-.04167) 또는 f12 = 2(-.01)1.562.78 = (-.04167)를 손쉽게 계산할 수 있다. 사례의 품질손실함수는 다음과 같다.

(단, 0 ≤ L ≤ 25)

만약 y₁, y₂가 각각 단일 특성치의 경우라면 품질손실은 다음과 같을 것이다.

L(y₁) = k₁ (y₁ -T₁)² = 1.56(1001-1000)² = 1.56(원)

L(y₂) = k₂ (y₂ -T₂)² = 2.78(502-500)² = 11.11(원)

이러한 계산결과에 의하면, 두 특성치간 상관관계가 없을 경우 품질손실은 각 특성치의 품질손실의 단순 합계액인 12.67(원)이 된다. 다특성치의 품질손실함수에 의해 품질손실을 계산해보면, 다음 12.59(원)으로 두 특성치의 상호작용(음의 상관관계)으로 인해 품질손실의 금액이 .083(원) 감소함을 알 수 있으며, 이제 특성치 간 상관관계만 확인되면 품질손실을 계산하는 것은 크게 어렵지 않다.

L(y₁,y₂) = 1.56(1)² +2.78(2)² +(-.04167)(1)(2) = 12.59(원)

추가적으로 교차항이 품질손실에 미치는 영향을 분해하여, 개별 특성치가 품질손실에 미치는 포괄적 영향을 직접 영향과 간접영향으로 나누어 확인할 수도 있다. 간접영향은 어떤 특성치가 상관관계가 있는 다른 특성치를 통하여 품질손실에 영향을 미친다는 의미이며, 각 특성치의 간접영향의 크기는 교차항 크기의 12이 될 것이다.

이를 증명하면, 두 특성치 교차항 f₁₂x₁x₂ 즉 ρ122Cd1d2x1x2는 ρ12Cd1d2x1x2 + ρ12Cd1d2x1x2ρ12Cd1d2이므로, 이를 ρ12Cd1d12d2x1x2 + ρ12Cd2d1d22x1x2로 표시할 수 있다. 이를 정리하면 품질손실함수의 교차항 f₁₂x₁x₂는 k1{(ρ12d1d2)x2}x1 + k2{(ρ12d2d1)x1}x2가 된다.

물론 k1{(ρ12d1d2)x2}x1 = k2{(ρ12d2d1)x1}x2이며, 품질손실함수에서 k1{(ρ12d1d2)x2}x1항을 x₁의 간접영향, k2{(ρ12d2d1)x1}x2항을 x₂의 간접영향으로 이해할 수 있다. 즉 x₁의 경우 직접적으로 k₁만큼 품질손실에 영향 (L(x1)=k1x12)를 미치고, 허용오차의 상대적 비(d1d2)에 해당하는 k₁만큼 상관계수(ρ₁₂)를 통해서 x₂의 수준에 따라 간접적인 영향을 미치는 것으로 볼 수 있다. 마찬가지로 x₂의 경우 직접적으로 k₂만큼 품질손실에 영향 (L(x₂) = k₂x₂ 2)를 미치고, 허용오차의 상대적 비(d2d1)에 해당하는 k₂만큼 상관계수(ρ₁₂)를 통해서 x₁의 수준에 따라 간접적인 영향을 미치는 것으로 볼 수 있다. 이 관계를 식 (3. 2)의 수식에 대입하면 나타내면 다음과 같다.

그리고 이 식을 개별 특성치 항만으로 나타내면, 다음 식과 같다.

앞의 사례로 교차항의 간접영향을 분해하여 검증하면 다음과 같다.

두 특성치의 음(-)의 상관관계으로 인해 품질손실의 금액이 .0833(원) 감소한 것은 정확히 그 12인 개별특성치의 손실 .04167씩 감소한 것이기 때문이다.

식 (3. 5) 2변수의 품질손실함수를 확장하여, t개의 다특성치 품질손실은 다음과 같이 각 특성치의 항만으로 이루어진 일반식으로 도출할 수 있다.

결론적으로 이상 기하학적 추론과 대수적 접근방법, 그리고 통계적 접근방법을 통해 다특성치의 품질손실함수를 도출하였다. 그러나 품질손실함수에서 특성치가 3개 이상일 때 차원이 4차원 이상으로 높아지므로 각 특성치의 변화가 품질손실에 미치는 영향을 기하학적(topology)으로 설명하기가 쉽지 않다. 이는 선형대수를 통한 증명으로 해결할 수 있으며, 이를 위해 다변수로의 확장을 위한 선형대수적 접근방법을 제시하고, 그 결과를 이용하여 사례를 확인함으로써 본 연구의 다특성치 품질손실함수의 수리적 타당성을 검증한다.

식 (2. 4)의 t개의 품질특성치를 가진 품질손실함수의 2차형식으로 다시 교차항으로만 표시되는 요약식으로 나타내면 다음과 같다. 또한 이 요약식은 반응표면분석의 기초식으로 사용되며, 반응표면분석은 처음부터 통계기법을 적용하므로 상관계수에 대한 추론과정이 생략되어 있다고 볼 수 있다. 선행연구로써 다구찌 방법을 서비스 품질 측정 분야에 응용한 사례가 임채관 등(2000), 이상복(2014)의 연구인데, 이 연구의 한계가 특성치간 상관관계를 나타내는 상관계수의 적용에 있어서 연구모형 내 명시적 추론과정이 결여되어 있다는 점이다.

상기 식을 정리하면 다음과 같이 전환된다.

분석의 편의를 위하여 ui = xidi로 정의하면 식 (4. 2)를 다음과 같이 간단하게 상관계수행렬을 포함한 행렬연산으로 나타낼 수 있다.

u^'_(1×t)는 행벡터이며 R_{(t× t)}은 상관계수 행렬, u_{(t × 1)}은 열벡터이다. 상관계수행렬 R_{(t × t)}은 대칭행렬(ρ_ij＝ρ_ji)이므로 항상 고유값(eigen value)으로 대각화(diagonalizing)가 가능하며 더욱이 직교행렬(orthogonal matrix)로 대각화가 가능하다. 대각화는 주어진 R_{(t × t)}행렬에서 행렬방정식 R_{(t × t)}u_{(t× 1)} ＝ λu_{(t × 1)}를 만족하는 스칼라(scalar) λ와 벡터 u를 이용, 선형변환을 통해 함수를 보다 간명한 형식으로 도출하기 위해 필요한 과정이다. 대각화의 전개과정은 선형대수에서 널리 알려져 있지만, 개념 이해를 위해 간단하게 기술한다.

먼저 행렬방정식 Ru = λu를 고쳐 쓰면, Ru -λu = 0_{(t × 1)}이므로(0_{(t× 1)}은 제로벡터), Ru -λI u = 0 또는 (R-λI) u = 0 (단, I는 항등행렬)이다. 계수행렬 (R-λI)은 행렬 R의 특성행렬이라고 하는데, 이것은 u의 해가 0이 아닌 것을 원하기 때문에 특이행렬(singular matrix)이어야, 다시 말해서 계수행렬의 행렬식(determinant)은 0이 되어야 한다.

이 방정식을 행렬 R 의 특성방정식(characteristic equation)이라고 하는데, 행렬식 |R -λI|는 라플라스 전개에 의해 변수 λ의 t차 다항식이 되므로 모두 t개의 근(λ₁, λ2, …, λt)을 가진다. 총 t개의 특성근(고유값)이 존재하기 때문에 이에 대응하는 고유벡터(eigen vector)를 찾을 수 있고, 그로 이루어진 행렬 V를 찾는 것이 대각화이다.

마지막으로 변환식 u_{(t × 1)}= V_{(t × t)}z_{(t × 1)}를 원래의 2차형식 u^'R u에 대입하면, u^'R u = (Vz)^'R Vz = z^'V^'R Vz이므로, ∧≡V^'R V일 때, u^'R u = z^'∧ z이다.

즉, 각 항이 오직 제곱항으로만 이루어진 단순한 형태의 함수를 도출할 수 있게 된다.

결론적으로 변수 u_i로 구성된 원래의 2차형식은 이제 변수 z_i로 구성된 또 다른 형태의 2차형식이 된다. 변수 u_i와 변수 z_i로는 값이 취해지는 범위가 같으며, 특히 변환식 u = Vz에서 V는 직교행렬(V^T = V^-1)이므로 V^-1u = z 이고, 따라서 벡터 u와 z는 1대 1의 대응을 보인다. 그러므로 다특성치의 품질손실함수는 (4. 5)와 같이 일반화할 수 있게 된다. 그러나 이 식으로 해를 구할 수는 있지만, 즉 품질손실의 크기는 알아낼 수 있지만 품질특성치의 영향을 직접 나타내지 못한다는 점이 한계일 수 있다.

(단, z = V^-1u)

그리고 2변수의 경우로 한정하여 앞의 사례의 결과를 확인하면, 2변수의 2차형식의 행렬대수는 다음과 같다.

그리고 행렬 [1ρ12ρ211]의 특성방정식은 다음과 같다.

이 방정식((1-λ+ρ₁₂)(1-λ-ρ₁₂) = 0)을 풀면, λ₁ = (1+ρ₁₂), λ2 = (1-ρ₁₂)이다. 두 근 모두 양(> 0)이므로 (-1 < ρ₁₂ < 1) 양정부호의 충분조건을 만족시키고 있음을 알 수 있다.

먼저 첫 번째 근 λ₁ = (1+ρ₁₂)을 이용하면 행렬방정식 (R-λI) u = 0은 다음과 같다.

이 행렬방정식으로부터 두 개의 식 -ρ₁₂u₁ +ρ₁₂u₂ = 0, ρ₁₂u₁ -ρ₁₂u₂ = 0이 산출된다. 계수행렬의 두 행은 행렬 R 의 특성방정식으로부터 예상할 수 있는 바와 같이 선형종속(linear dependant)이기 때문에 무수한 해가 존재하며, 일반적으로 제약식 u12+u22=1을 부과함으로써 해를 정규화한다. 따라서 첫 번째 특성벡터는 v1 = 1212이 된다.

마찬가지 방법으로 두 번째 근 λ2 = (1-ρ₁₂)를 이용하면 행렬방정식 (R-λI) u = 0은 다음과 같은 형태를 취한다.

역시 행렬방정식으로부터 두 개의 같은 식 ρ₁₂u₁ +ρ₁₂u₂ = 0이 산출되며(중근), 동일하게 제약식 u12+u22=1을 부과함으로써 해를 정규화하면, 두 번째 특성벡터는 v2 = -1212과 같다.

이제 행렬 V_(2×2)= [v₁, v₂] 이면, 선형대수이론에 따라 전치행렬 V^T는 역행렬 V^-1과 같으므로 V = 12-121212, V-1 1212-1212이다. 또한, 벡터 z = V^-1uz=z1z2 = 1212-1212  u1u2 = u1+u22u2-u12이다.

그러면 품질손실함수의 일반식으로부터 2변수 품질손실함수는 다음 식과 같이 도출된다.

식 (4. 11)에 미리 알 수 있는 파라미터를 대입하여 고쳐 쓰면 다음과 같이 특성치가 2개인 경우 품질손실을 바로 계산해낼 수 있는 식 (4. 12)가 완성된다.

앞의 사례는 y₁ = 1001(T₁ = 1000), y₂ = 502(T₂ = 500), C = 25, d₁=± 4, d₂=± 3, ρ₁₂=-.01이므로, 품질손실은

으로 앞에서의 결과와 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

본 연구에서 도출한 다특성치 품질손실함수는 상관계수를 분석모형 내에 명시적으로 투입함으로써 특성치 간의 상관관계를 분명하게 고려함과 동시에, 계수의 추정에 있어서 주관적이거나 임의적인 전제가 필요 없는, 수학적 논거가 분명한 객관적인 함수이다. 또한 본 연구의 접근방법에 따르면 특성치가 3개, 4개 등 다수인 경우라고 할지라도 얼마든지 확장 가능함을 보여주고 있다.

사례의 경우 두 특성치가 목표치를 각각 벗어났을 때 계산한 품질손실은 12.59(원)이었고, 즉, 식 (3. 5)로부터 계산된 결과 L(y₁,y₂)= (1.56-.04167)+(11.11-.04167) = 1.52+11.07 = 12.59(원)은 식 (4. 12)에 의해 계산된 결과 L(y₁,y₂)= 12.5(.8319) +12.5(.1753) = 10.40+2.19 = 12.59(원)과 일치하고 있다. 결과는 일치하지만 본 연구에서 도출된 품질손실함수는 특성치 y₁으로 인해 1.52(원), 특성치 y₂로 인해 11.07(원) 손실이 각각 발생하였음을 추적할 수 있다. 이에 반해 기존의 선형대수에 의한 품질손실함수의 경우는 12.59(원)의 계산 과정에서 개별 특성치의 영향을 따로 파악할 수 없다. 즉, 산식의 항은 얼핏 10.4(원)과 2.19(원) 두 개로 나누어져 있으나 각각의 항이 개별 특성치에 관한 것이 아니고 변수변환으로 혼재된 결과만을 보여주고 있다.

또한 선형대수에 따르면, 특성치 간 상관계수 행렬에 대하여 고유값(λ)과 고유벡터로 이루어진 행렬(V)만 정의할 수 있다면 다특성치 품질손실은 이론적으로 모두 계산가능하다. 다만 이 과정에서 3차 이상 고차형식의 고유값의 계산에서 대수적 접근은 가능하지만 해를 구하기 위해서는 허수를 포함하는 복소수 영역으로 수의 확장이 요구되므로 식 (4. 12)와 같은 형태의 일반식으로 풀기도 쉽지 않다.

때문에 보통 3차 이상의 고차형식의 고유값은 2차의 특성방정식(고유다항식)의 해를 구하는 방식으로 구하지 않는다. 일반적으로 같은 고유값을 가지거나 고유값 계산이 보다 더 쉽게 되는 동치행렬로 상관계수행렬을 변형시켜 구한다. 이러한 과정은 컴퓨터 계산프로그램을 이용하여 수행할 수 있을 것이다.

더욱이 3차 이상의 다특성치 품질손실의 선형대수 접근방법에 대해 추가적 논의가 필요하다. 예를 들어 특성치가 3개(y₁, y₂, y3)인 경우 식 (4. 6)의 형태로 품질손실함수 Lb를 정의하면,

단, vij는 행렬 V^-1의 원소가 된다.

그러나 위 식 (4. 13)은 간단해보이지만, 식이 가지는 의미의 직관적 해석이 어려워 실제로는 복잡한 식이다. Lb = C(λ1z12 + λ2z22 + λ3z32)임을 상기할 때, y_i→x_i→u_i→z_i 1:1 대응에 따라 Lb식의 각 항이 차례대로 y₁, y₂, y3에 대응한다고 하지만, 변수변환이 가져다주는 복잡성 때문에 실제로 개별 품질 특성치 y₁, y₂, y3가 각각 품질손실에 미치는 개별적 영향을 구분해서 알 수 없다는 한계가 있다. 다시 말해서 Lb는 전체 품질손실의 크기만 보여줄 뿐, 다구찌가 요구하는 품질손실을 최소화하기 위한 파라미터 설계에 개별 특성치를 어떻게 투입해야 할지 알기 어렵다.

이에 비해 식 (3. 5)의 형태로 특성치가 3개인 품질손실함수 La를 다시 쓰면,

La=k1{x1+(ρ12d1d2)x2 + (ρ13d1d3)x3}x1+k2{x2+(ρ12d2d1)x1 + (ρ23d2d3)x3}x2+k3{x3+(ρ13d3d1)x1 + (ρ23d3d2)x2}x3가 된다. 이미 검토한 바와 같이 각항의 계수에 관하여 fij = ρij2Cdidj임을 알고 있으므로, 복잡한 행렬연산 과정을 거치지 않더라도 기지의 파라미터로만 이루어진 식으로써 보다 용이하게 품질손실의 금액을 계산할 수 있다. 특히 L_a는 개별 특성치가 품질손실에 미치는 순수한 영향, 즉 직접 효과와 각 특성치의 순서쌍 결합에 의해 나타나는 전반적인 간접효과로 나누어 볼 수 있다는 점에서 유용한 식이다.

따라서 두 식을 비교할 때 직관적 이해 역시 L_a가 나아 보이며, 이로써 개별 품질 특성치가 품질손실에 미치는 각각의 영향도 파악할 수 있다. 특히 실무적 관점에서 상관관계를 고려하는 다특성치 품질손실 개념의 핵심은 각 특성치가 전체 품질손실에 각각 어느 정도 영향을 미치는가를 확인하여 포괄적으로(comprehensively) 해당 특성치에 대한 파라미터 설계를 수행한다는 데 있다. 3차형식을 포함하여 고차형식으로 갈수록 이 점이 훨씬 중요하다는 점에서 실무적 통찰력을 보여주는 것은 선형변환에 의한 품질손실함수 L_b보다 상관계수를 직접 계산과정에 투입하는 품질손실함수 L_a임에 틀림없다.