1. 서론
신뢰성이란 제품이 주어진 조건에서 특정시간 동안 요구되는 기능을 수행할 확률을 의미하는데, 제품의 신뢰성이 높아짐에 따라 단기간 내에 신뢰성 정보를 얻는 것이 점점 어려워지고 있다. 신뢰성 높은 제품에 대하여 짧은 시간 내에 수명 정보를 획득하기 위하여 사용 조건보다 가혹한 조건에서 시험하여 제품의 고장과 밀접한 관련이 있는 열화특성치를 관측하고 이 데이터로부터 수명 정보를 추정하는 가속열화시험(Accelerated Degradation Test, ADT)이 이용되고 있다.
가속열화시험에 관한 연구는 일반적으로 시험 후 얻어지는 데이터를 분석하여 수명과 관련된 정보를 획득하는 추론과, 시험 전에 가용 자원 제약 하에서 효율적인 시험을 수행하기 위한 시험계획으로 구분할 수 있다. 대부분의 경우, 한정된 자원으로 제한된 시간 내에 시험을 수행해야하기 때문에 추론에 앞서 효율적인 시험계획을 마련하는 것은 매우 중요하다.
열화 모형은 일반적으로 일반경로 모형(general path model)과 추계적과정 모형(stochastic process model)으로 분류할 수 있는데 가속열화시험 계획에 대한 연구는 과거 열화특성치가 일반경로모형을 따르는 경우를 중심으로 이루어졌으나 (Boulanger and Escobar 1994, Park and Yum 1997, Park and Yum 2004, Li and Kececioglu 2004, 2006, Shi et al. 2009) 최근 시간에 따른 열화특성치간 상관관계를 설명할 수 있는 추계적과정 모형을 가정한 연구가 이루어지고 있다. 추계적과정 모형 중 열화모형으로 위너과정(Wiener process), 기하브라운운동(geometric Brownian motion), 감마과정(gamma process) 등이 활용되고 있다. Liao and Tseng (2006), Lim and Yum (2011), Lim (2012)은 위너과정 가정 하에서의 가속열화시험의 계획에 대하여 설계하였으며 Liao and Elsayed (2004)은 기하브라운운동 모형하에서의 최적 가속열화시험 계획을 수립하였다. 위너과정의 경우 열화가 음의 값을 가질 수 있으며, 기하브라운운동은 단조 증가 (strictly increasing) 하지 않을 수 있다. 그러나 일반 현실 상황에서 열화는 항상 양의 값을 가지며 단조 증가하는 특성을 보인다. 이러한 경우, 시간에 따른 열화량이 항상 양의 값을 가지며 단조 증가하는 감마과정이 적절한 모형이 될 수 있다.
Tang et al. (2004)과 Pan and Sun (2014)은 비용 제약 하에서 계단형으로 스트레스를 인가하는 경우의 가속열화시험의 계획을 개발하였다. 계단형 가속시험의 경우 데이터 분석 시 누적노출모형과 같은 스트레스 변화 효과에 대한 가정이 필요하다는 단점이 있는 반면 일정형 가속시험의 경우 시험 수행 시 관리가 수월하고 데이터 분석이 용이하다는 장점이 있어 가속열화시험을 이용하는 현장에서는 일정형 가속열화시험이 많이 활용되고 있다 (Lim 2012). 본 논문에서는 열화특성치가 감마과정을 따른다고 가정 하에 스트레스가 일정하게 가해지는 일정형 가속열화시험의 계획을 개발하고자 한다. 사용조건에서의 수명 분포의 q 분위수 추정량의 점근분산이 최소가 되도록 스트레스 수준, 각 스트레스 수준에 할당하는 시료수를 결정하고자 한다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2장에서는 열화 모 형인 감마과정과 세 가지 가속 모형에 대하여 설명하고 사용 조건에서의 수명 분포를 구하였다. 제 3장에서는 목적 함수인 사용조건에서 수명 분포의 q 분위수 추정량의 점근 분산을 구하고 이를 스트레스 수준, 각 스트레스 수준에 할당하는 시료수에 대하여 최적화하는 시험 계 획을 수립하였으며, 또한 총 시료수를 산출하는 방법에 대하여 설명 하였다. 제 4장에서는 발광다이오드 예제를 통해 가속열화시험 계획을 수립하고 및 민감도 분석을 수행하였다. 마지막 으로 제 5장에서는 본 논문의 결론 및 추후 연구과제를 제시하였다.
2. 가속 열화 모형
2.1 감마과정 모형
본 논문에서는 시점 t′ 에서의 열화특성치 y(t′)가 형상계수 (shape coefficient) α′ (>0), 척도계수(scale coefficient) β (>0) 를 가지는 감마과정을 가정하며 아래와 같은 특성을 갖는다.
1. y(0)=0,
2. y ( t ' ) t ' ≥ 0
3. y(t′) 는 다음과 같은 확률밀도함수(Probability Density Function, pdf)를 갖는 감마 분포(gamma distribution)를 따른다.
여기서, α′t′ 는 형상모수(shape parameter)이고 β 는 척도모수(scale parameter)이다.
4. 각 독립 증분 Δ y a b = y ( t ' b ) - y ( t ' a ) ; 0 ≤ t ' a ≤ t ' b α ' Δ t ' ( = α ' ( t ' b - t ' a ) )
2.2 가속 모형 및 표준화
본 논문에서는 감마과정의 스트레스 s' 하에서의 형상계수 α′(s')(>0) 가 스트레스 s'와 다음의 모형 중 하나를 따른다고 가정한다 (Nelson 1990).
아레니우스 모형 : α ( s ' ) = δ 1 ' e x p ( - δ 2 / s ' )
멱함수 모형 : α s ' = δ 1 ' s ' δ 2 '
지수 모형 : α ( s ' ) = δ 1 ' e x p ( - δ 2 ' s ' )
여기서, δ1'(>0)와 δ2'(>0)는 미지의 상수이다.
s0'을 사용 조건, sM'을 최대 스트레스 수준, tM′ 을 최대 시험 시간이라고 하면 모형의 간편성을 위해 각 스트레스 수준과 시험 시간은 다음과 같이 표준화할 수 있다.
표준화 후 s0'=0, sM=1, tM=1, 0≤s≤1, 0≤t≤1을 만족하며, 형상모수 α'(s')t' 는 다음과 같이 표준화된 형태 (s,t)로 표현할 수 있다.
여기서,
2.3 수명 분포
열화특성치가 형상계수 α(s) 와 척도계수 β 를 가지는 감마과정을 따를 때, 고장기준값 yc에 도달하는 시간으로 정의되는 수명 T는 다음과 같은 분포를 따른다.
(2)
여기서, Г(a,b)는 다음과 같이 정의되는 불완전 감마 함수 (incomplete gamma function) 이다.
스트레스 수준 s 에서의 수명분포는 t가 클 때 점근적으로 아래와 같은 누적분포함수 (Cumulative Distribution Function, cdf)를 가지는 Birnbaum-Saunders 분포를 따른다 (Park and Padgett 2005).
여기서, Φ∙는 표준정규분포의 누적분포함수이다. 스트레스 수준 s 에서의 수명분포의 q 분위수 tq,s는 근사적으로 다음과 같이 구할 수 있다.
여기서, zq는 표준 정규 분포의 q 분위수이다. 식 (1)로부터 α(s0)=α(0)=exp(δ1)가 되고, δ 1 ⏜ β ⏜ t q , o ⏜
3. 계획 문제의 정형화 및 최적화
3.1 가정사항
본 논문에서는 다음과 같은 모형을 가정하였다.
1. 각 스트레스 수준 si (i=1,2,…, r) 에서 스트레스는 시험시간 동안 일정하게 가해진다.
2. 시험은 총 N = ∑ n i i = 1 r
3. 측정시간 간격은 Δt로 동일하며 총 시험시간은 tM=Δt•m=1을 만족한다.
yijk를 tijk (k=1, 2,…, m) 에서 측정된 열화특성치라고 하면 각 열화증분 (degradation increment) Δyijk=yijk-yij,(k-1)(yijk>yij,(k-1)) 은 다음과 같은 감마 분포를 따른다.
3.2 문제의 정형화
가속열화시험을 설계하기 위한 다양한 최적화 기준이 활용되고 있으며 사용조건에서의 수명분포의 q-분위수 수명 또는 평균 수명의 (점근) 분산과 평균 제곱 오차 (Mean Squared Error, MSE)가 가장 널리 활용되고 있다 (Li and Kececioglu 2004, 2006, Liao and Tseng 2006, Park and Yum 1997, Park and Yum 2004, Shi et al. 2009, Tseng et al. 2009). 추가적으로 Boulanger and Escobar (1994)와 Liao and Elsayed (2004)는 일반화 분산(generalized variance)을, Tang et al.(2004)는 총 시험 비용을 최적화 기준으로 활용하였다. 본 논문에서는 사용조건에서 수명 분포의 q-분위수 추정량의 점근분산이 최소가 되도록 스트레스 수준 및 각 스트레스에 할당하는 시료 수를 결정하고자 한다. 목적함수를 계산하기 위한 N 개 시료의 대수우도함수는 식 (1)과 (2)로부터 다음과 같이 구할 수 있다.
여기서, Ai=α(si)∆t=[exp(δ1+δ2si)]∆t 이다. 피셔정보행렬 F 는 lnL를 δ1, δ2, β 에 대하여 이차편미분하여 음의 기댓값을 취하여 다음과 같이 산출할 수 있다 (Lawless 1982, 부록 A).
여기서, ψ 1 = ( A i ) = ∂ Ι n Γ ( A i ) / θ A i 2 , i = 1 , 2 , … , r
여기서, βc=yc/β 이다. 그러면, t q , o ⏜
여기서, ‘t’는 전치를 나타낸다. 두 스트레스 수준을 갖는 가속열화시험의 최적화 문제는 척도인자인 1/(mN)를 생략하여 다음과 같이 정형화할 수 있다.
Minimize u = h 1 2 P + 2 h 1 h 3 Q + h 3 2 R K
Subject to 0≤s1<s2≤1
0≤π1≤1
π1+π2=1
여기서,
목적함수 V 는 결정변수 s1,s2,π1,π2 와 δ1,δ2, βc,q, ∆t(=1/m)의 함수이다.
3.3 사전추정
목적함수 v 는 미지의 상수 δ1, δ2, βc에 의존하므로 미지의 모수에 대한 사전 추정이 필요하다. Lim and Yum (2011)은 최대 스트레스 수준에서의 예비 시험과 전문가의 판단에 의한 사전 추정 방법을 제시하였다. 먼저 짧은 시간동안 가능한 많은 열화 정보를 확보하기 위하여 최대 스트레스 수준 (s2=1) 에서 예비 시험을 수행하고 이로부터 βc와 δ1+ δ2 형태의 모수를 추정한다. 그리고 p0를 사용조건에서 특정 시점 (τ)까지의 고장 확률이라고 하면 식 (3)의 Birnbaum-Saunders 분포로부터 다음과 같이 표현할 수 있다.
그러면, δ1은 다음과 같이 구할 수 있다.
여기서 z0는 표준정규분포의 p0 분위수이다. δ2는 예비 시험으로부터 추정된 δ1 +δ2로부터 δ1의 사전추정치를 뺌으로써 사전 추정할 수 있다.
3.4 최적화
위 문제는 목적함수가 복잡하기 때문에 분석적 (analytic) 방법으로 해를 구하기 어려워 모의 담금질(Simulated Annealing)과 같은 시뮬레이션 방법으로 최적해를 구할 수 있으나, 시간이 오래 걸리는 단점이 있어 본 논문에서는s1,s2,π1 에 대하여 격자탐색을 이용하여 최적해를 산출하였다. 최적화 결과 높은 스트레스 수준은 항상 최대 스트레스 수준으로 결정되며 (즉, s 2 * = 1
(1) δ1 또는 δ2가 증가할수록, 또는 m이 감소할수록 s 1 *
(2) q 또는 βc가 증가할수록 s 1 *
(3) δ1이 증가할수록, 또는 m이 감소할수록 π 1 *
(4) q 또는 βc 이 증가할수록 일반적으로 π 1 *
위 (1)의 경향성은 δ1과 δ2가 작을 경우, s 1 * = 0
3.5 총 시료수 결정
가속열화시험에서 중요한 사항 중 하나인 시료수는 다음과 같은 조건을 만족하는 최소의 N 으로 결정할 수 있다.
여기서, ∊, ∅ 는 미리 주어지는 양의 상수이다. 식 (6)은 다시 다음과 같이 표현할 수 있다.
그러면, 식 (7)를 만족하는 N의 최소값은 근사적으로 다음과 같다 (Meeker and Escobar 1998).
여기서, z(1+∅)/2는 표준정규분포의 (1+∅)/2 분위수이다.
4. 예제 및 민감도 분석
발광 다이오드 (Light Emitting Diode, LED)는 광섬유 전송 시스템 및 TV와 모니터 등의 전자제품에 널리 사용되고 있다. 본 예제에서는 고장과 밀접한 관련이 있는 열화특성치를 시간에 따른 LED 밝기의 감소라 하고 사용조건에서 발광 다이오드의 0.1 분위수 수명을 추정하기 위한 가속열화시험을 계획하고자 한다. 초기 대비 50% 이하로 떨어지면 고장으로 정의되며 (yc=0.5), 온도는 가속 스트레스 변수로 고려되고 최대 스트레스 수준과 사용 조건은 각각 150°C(=423°K)과 50°C(=323°K)로 주어진다. 최대 시험 시간은 1500 시간 (약 2개월)이며 각 시료에 대하여 20회 열화특성치를 측정한다 (m=20 or ∆t=1/20). 열확특성치는 감마과정을 따르며, 가속 관계는 아레니우스 모형을 만족한다.미지의 모수를 사전추정하기 위하여 최대 스트레스 수준 (150°C)에서 100시간동안 10개의 시료에 대하여 예비 시험을 수행한 결과 다음과 같은 열화데이터를 획득하였다.
32, 24, 39, 35, 45, 31, 25, 15, 35, 47 (%).
위 데이터로부터 δ1+δ2와 βc은 각각 5.1과 19.1로 추정되었다. 또한, 사용조건에서 6개월 동안의 불량률을 1×10-6 이라고 예측하고 δ1의 사전추정치를 0.6, δ2의 사전추정치를 4.5(=(δ2+δ2)-δ2=5.1-0.6)로 산출하였다. 이에 따른 최적 시험 계획은 다음과 같다.
최적 시험 계획을 수립하는데 δ1, δ2와 βc의 사전추정치가 이용되기 때문에 δ1, δ2와 σ의 실제값에 대한 최적 계획과는 다를 수 있으므로 δ1, δ2와 βc 에 대한 민감도 분석이 필요하다. 각 미지의 상수에 대한 가능 영역을 아래와 같다고 가정하고, 각 상수의 최소, 중간, 최대값 27개의 조합에 대하여 민감도 분석을 수행하였다.
17.1≤βc≤21.1
0.5≤δ1≤0.7
4.0≤δ2≤5.0
민감도 분석 결과는 Table 2에서 보여주며, v0와 v*는 각각 식 (9)에서의 계획과 δ1, δ2와 βc의 참값을 사용하여 얻어진 최적 계획에 대한 v 값이다. Table 2 에서 Ratio v0/v* 값은 δ2와 βc의 사전추정 시 발생할 수 있는 오차에 대하여 민감하지 않다는 것을 의미한다.
총 시료수는 사전추정에 대한 오차를 고려하여 보수적으로 결정된다. 식 (4)로부터 사용조건에서 수명분포의 0.1 분위수의 사전 추정치는 7.83으로 산출되며 ∅=0.9, ∈=0.2로 고려하여 Table 2에서 가장 큰 v0 값이 558.70을 적용하면 식 (8)로부터 보수적인 최소 총시료수는 31개이다. 최적시험 계획은 총 31개 시료에 대하여 14개 (45.2%)는 사용조건 50°C, 나머지 17개 (54.8%)는 최대 스트레스 수준 150°C에서 평가하는 것이다.
5. 결론
신뢰성이 매우 높은 제품에 대하여 가혹한 조건에서 시험하여 열화특성치를 측정하고 이로부터 짧은 시간 내에 정상 사용조건에서의 수명 정보를 얻고자 하는 가속열화시험이 자주 이용되고 있다. 열화특성치의 경우 일반적으로 단조 증가하는 형태를 보이며, 이를 잘 설명할 수 있는 모형이 감마과정이다. 본 논문에서는 열화특성치가 감마과정을 따른다는 가정 하에서 사용조건에서 수명분포의 q 분위수 추정량의 점근분산이 최소가 되도록 스트레스 수준, 각 스트레스 수준에 할당하는 시료수를 결정하는 가속열화시험의 최적 계획을 개발하였다. 또한, 총 시료수 결정하는 방법을 제시하였으며, 미지의 모수의 불확실성에 대한 효과를 평가하기 위해 민감도 분석을 수행하였다.
기존의 일반열화경로 모형을 가정한 가속열화시험의 계획과 다르게 본 연구에서의 추계적과정 모형은 시간에 따른 열화 측정 사이의 상관관계에 대하여 설명할 수 있으며, 특히 감마과정의 경우 단조 증가하는 열화 특성을 잘 설명할 수 있다.
추후 연구과제로 두 가지 스트레스가 가해지는 경우 짧은 시간 내에 제품의 수명에 대한 많은 양의 정보를 획득할 수 있으므로 두 가지 스트레스가 가해지는 경우의 가속열화시험의 계획에 대한 연구가 있으며, 모든 시험에서는 비용 제약이 존재하므로 비용 제약 하에서의 가속열화시험의 계획에 대한 연구가 필요하다.
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