시스템의 지속적 모니터링 및 이상 상태에 대한 신속 탐지는 시스템 운영 프로세스 관리에 있어 필수불가결한 과업이다. 다양한 형태의 이상 반응을 빠르고 정확하게 찾아낼수록 그로 인한 위험 및 피해를 최소화할 수 있기 때문이 다. 이로 인해 많은 통계 기법이 제조 시스템, 환경 관리 시스템, 전염성 질병 관리 시스템 등의 프로세스 관리를 위해 사용되어 왔다(Kim et al., 2019; Kim and Sohn, 2020; Seo and Yum, 2019). 가장 흔하게 사용되는 기법 중하나는 통계적 관리도로써, 대표적으로 슈하르트 관리도, 누적합(CUSUM) 관리도, 지수가중이동평균(EWMA) 관리도 등이 존재하며, 이후 이를 다변량 프로세스 모니터링을 위해 확장 시킨 T² 관리도, 다변량 누적합(MCUSUM; Multivariate CUSUM) 관리도, 다변량 지수가중이동평균(MEWMA; Multivariate EWMA) 관리도 또한 다양한 분야 에서 널리 사용되어 왔다. 단변량 프로세스 모니터링의 경우, Fricker et al.(2008)은 여러 환경조건에서 실험했을때 CUSUM 관리도가 슈하르트 관리도나 EWMA 관리도에 비해 프로세스의 미세한 변화를 탐지해내는 성능이 뛰어나다고 평가하였다. 다변량 프로세스 모니터링의 경우에는 현재 시점에서 얻은 관측치만을 반영하여 프로세스의 상태를 탐지하는 T² 관리도에 비해 이전 시점에서 얻어진 관측치와 현시점의 관측치를 모두 활용하는 MCUSUM 관리도와 MEWMA 관리도가 프로세스의 미세 변화 탐지에 있어 상대적으로 더 뛰어난 성능을 보인다(Montgomery, 2009).

한 번에 하나의 프로세스 품질특성치 정보만을 모니터링 할 수 있는 단변량 CUSUM 관리도에 비해 다변량 CUSUM 관리도는 여러 품질 특성치를 동시에 모니터링할 수 있다는 장점을 가지지만 기존의 다변량 관리도들은 대부분 각 품질특성치가 서로 독립이라는 가정 하에 고안된 것들이어서 관측되는 품질특성치들 사이에 자기 상관관계나 교차 상관관계가 존재하는 경우에는 그 탐지 성능을 그대로 유지 및 보장하기가 어렵다. Woodall and Ncube(1985)는 여러 개의 품질 특성치를 단변량 CUSUM 관리도를 통해 각기 따로 관리하기 보다는 하나의 MCUSUM 관리도를 이용하여 모든 특성치를 통합 관리하는 것이 프로세스의 이상 변동을 더 신속하게 탐지해내지만, 품질 특성치들 간에 교차상관관계가 강할 경우 그 탐지 성능이 저하될 수 있음을 보였다. 이러한 Woodall and Ncube(1985)의 MCUSUM 관리도의 단점을 보완하기 위해 Jiang et al.(2011)은 모니터링 하는 특성치들 사이에 교차 상관이 존재하여도 적용이 가능한 MCUSUM 관리도를 제시하였으나, 이 관리도는 시뮬레이션을 이용한 시행 착오를 통해 상황에 따른 관리 한계를 일일이 추정해야할 필요가 있어 상황변화가 심하거나 변량이 많은 경우에는 관리 한계 추정에 오랜 시간과 노력이 소모된다. 이후 Lee et al.(2014)는 Kim et al.(2007)의 단변량 CUSUM 관리도에 대한 관리 한계 추정식을 응용하여 일정 조건하에서는 시뮬레이션 대신 간단한 수치적 계산으로 MCUSUM 관리도의 관리한계를 추정 부여할 수 있는 SMCUSUM 관리도를 개발함으로써 관리도 사용을 위한 사전 준비 시간을 크게 단축시켰다.

한편, 자기상관관계를 가지는 프로세스 품질 특성치들을 모니터링하기 위해서는 모형 기반 MCUSUM 관리도가 널리 쓰여왔다. Noorossana and Vaghefi(2006)는 각 관측치를 예측하기 위해 수립한 단변량 시계열 모형으로부터 잔차를 계산하고, 자기 상관성이 배제된 이들 잔차를 모니터링하는 MCUSUM 관리도가 자기 상관성을 가지는 원래의 관측치 자료에 적용된 MCUSUM 관리도보다 이상상태 탐지 신속성 측면에서의 성능이 더 우수함을 보였다. 또한, Arkat et al.(2007)도 다변량 VAR(Vector Auto-regression) 시계열 모형과 ANN(Artificial neural net) 모형을 이용하여 얻은 잔차에 MCUSUM 관리도를 적용하는 것이 원래의 자료에 MCUSUM 관리도를 바로 적용하는 것에 비해 성능이 우수함을 보였다. 이 후에는 본격적으로 기계학습 모형 기반 관리도들이 도입되어, Issam과 Mohamad (2008)는 2차원 자료에 대해 ANN 모형과 SVR(support vector regression) 모형의 잔차에 기반한 관리도들을 VAR 모형의 잔차에 기반한 관리도와 비교하였고, 전자의 관리도가 후자보다 더 뛰어나다고 평가하였다. Kim et al. (2012)은 최대 10차원의 서로 다른 3가지 자기상관관계 수준을 가지는 다변량 자료를 토대로 한 9가지 시나리오를 가지고 다양한 잔차 기반 MCUSUM 관리도들의 성능을 비교하였다. 앞서 설명된 VAR, ANN, SVR 모형을 포함한 많은 모형에 대한 잔차 기반 MCUSUM 관리도들을 실험한 결과, Kim et al.(2012)은 ANN 모형의 잔차를 기반으로한 MCUSUM 관리도가 다양한 차원 수와 자기상관 정도를 다루는 데에 있어 타 관리도보다 상대적으로 우수한 성능을 보임을 확인하였다. 그러나 이러한 모든 잔차 기반 MCUSUM 관리도 역시 관리도의 실행에 있어 필수적으로 요구되는 관리한계 값의 추정을 위해 반드시 시뮬레이션을 통한 시행착오적 실험이 선행되어야만 한다는 전통적 MCUSUM 관리도의 단점을 그대로 지니고 있어, 관리도 실행 준비과정에서 많은 시간과 노력을 들여야만 한다.

이에 본 연구에서는 기존의 MCUSUM 관리도들이 가진 여러 단점들을 상호 보완할 수 있는 방법론을 소개하고그 성능을 기존의 여타 MCUSUM 관리도들과 비교 평가하고자 한다. 이어지는 본문의 2장에서는 먼저 다루고자 하는 문제에 대해 설명하고, 3장에서는 문제를 풀기 위한 새 방법론을 제안하며, 4장에서 방법론의 성능 평가를 위한 실험 진행 후, 5장에서 결론을 논한다.

모니터링 시스템은 프로세스의 이상 상태 탐지를 위해 매 시점 t 에서 m개의 프로세스의 품질특성에 대한 관측치를 수집한다. 이 관측치들은 센서에 의해 짧은 간격으로 수집되는 것으로 자기 상관성 및 교차 상관성을 지닐 수있으며, 각 시점 t에서 수집되는 m개 변량에 대한 관측치는 벡터 X_t = (x_1t, x_2t, ..., x_mt)' 로 표현된다. 프로세스에 이상 발생 시, X_t 의 평균 벡터 μ는 δ_x = (δ_x1, δ_x2,..., δ_xm) ' 만큼 변화하며 이 평균 변화량 벡터 δ_x 는 알려져 있거나 통계적으로 추정할 수 있다고 가정한다. 이러한 상황 하에서 우리는 프로세스에 이상 상태 발생 시 이 이상 상태를 최대한 신속하게 탐지하여 경고 알람을 울리는 것이 목표로 한다.

MCUSUM 관리도를 이용한 프로세스 모니터링 시, 관리도는 매 시점에 수집되는 X_t 들을 기반으로 관찰 통계량을 계산하고 해당 통계량이 정해진 관리한계 값을 넘어서는 시점에 이상 상태를 알리는 경보를 울린다. 따라서 이상상태가 발생하지 않았어도 언젠가는 오경보가 울릴 수 있고, 실제 이상상태가 발생했다 하더라도 그 이상 발생 시점과 경보가 울리는 시점에는 시차가 있을 수 있다. 이러한 관리도의 성질에 따라 관리도의 성능 평가는 ARL₀ (In-control Average Run Length)과 ARL₁ (Out-of-control Average Run Length)를 기반으로 이루어지는데, 이는 각각 ‘정상상태 하에서 오경보가 울릴 때까지 걸린 평균 시간’과 ‘실제 이상상태 발생 후 경보가 울리기까지 걸린 평균 시간’으로 설명된다. 따라서, ARL₀ 은 크고 ARL₁ 은 작은 관리도가 탐지 신속성 면에서 좋은 평가를 받는다. ARL₀ 과 ARL₁ 은 관리한계 값에 따라 달라질 수 있으므로, 일반적으로는 미리 정해둔 특정 ARL₀ 값을 달성할수 있는 관리한계를 시뮬레이션을 이용한 시행착오를 통해 찾아내고, 그 같은 관리한계 값 설정 하에서 얼마나 작은 ARL₁ 값을 달성하는가를 관리도 평가 지표로 삼는다.

본 연구에서 제안하는 방법론의 전체적인 틀은 Figure 1과 같다. 방법론은 크게 두 단계로 나뉘어져 있는데, 첫 단계에서는 이전 관측치 자료들을 이용하여 정상상태에서의 X_t 를 예측하기 위한 모형을 만든다. 예측에는 여러 모형이 이용될 수 있지만, 본 방법론에서는 기존의 타 연구에서 비교적 좋은 결과를 내었던 VAR 모형과 ANN모형을 선택하였다. 모형을 통해 얻어진 t시점의 예측치 X^t는 실제 관측치인 X_t 와의 잔차 Rt=Xt-X^t를 계산하는데 쓰이며, 프로세스 상태 탐지는 이후 이 잔차를 기반으로 하여 이루어진다. 잔차가 구해지면 이 잔차들의 분산-공분산 행렬과 이상 상태에서의 잔차 평균 변화량 등을 계산 혹은 추정하며, 이는 두 번째 단계인 프로세스 모니터링을 위한 준비라 할 수 있다. 두 번째 단계는 이전 단계에서 마련된 잔차 정보를 이용하여 MCUSUM 통계량을 산출하고 이를 이용하여 실제 프로세스 상태를 탐지하는 단계로, 기본적으로는 Lee et al.(2014)가 제안한 SMCUSUM 관리도를 이용한다. SMCUSUM 관리도는 표준화된 자료를 기반으로 모니터링을 진행하므로, 이를 위해 잔차 자료는 사전 표준화작업을 거치며, 관리한계는 시뮬레이션이 아닌 수식을 통해 곧바로 추정된다. 이후에는 SMCUSUM의 관찰 통계량이 정해진 관리한계를 넘어서면 경보를 울리는 일반적인 관리도의 관리 형식을 따라 모니터링이 진행된다.

모든 관측치 자료는 VAR 모형에 기반한 시뮬레이션을 통해 생성되었으며, 이를 통해 교차 상관 및 자기 상관을 가지는 2차원, 5차원, 10차원의 다변량 자료 모니터링에 대한 각 관리도의 ARL₁ 성능 평가가 이루어졌다. 실험은 i) 비교대상이 되는 각 관리도 별로 정상상태에서 목표 ARL₀ 을 달성하기 위한 관리한계 값을 우선 탐색한 후, ii) 해당 관리한계 값을 적용했을 때 이상상태에서 평균적으로 얼마나 빨리 경보를 울리는지(ARL₁)를 측정하는 방식으로 수행되었다. 모든 차원에서 ARL 들은 같은 환경설정 하의 실험을 1000번 반복 진행한 후 얻어진 값의 평균으로 계산되었다.

본 연구에서는 다변량 시계열 관측치의 미세 변화를 신속하게 탐지할 수 있는 잔차 기반 SMCUSUM 관리도를 제안하였다. 여러 환경 조건 하에서 이루어진 많은 실험을 통해 우리는 VAR 모형 보다는 ANN 모형의 잔차에 기반한 관리도가, 기존의 MCUSUM을 이용한 관리도보다는 SMCUSUM을 이용한 관리도가 ARL₁ 측면에 있어 상대적으로 더 뛰어나며, 특히나 ANN 모형의 잔차에 SMCUSUM을 적용한 관리도는 비교 대상으로 선택된 다른 관리도들 대비 그 성능이 우수함을 확인하였다. 기존의 다른 MCUSUM 관리도들이 가진 단점을 상호 보완할 수 있도록 구성된 이 관리도는 프로세스에서 관측되는 다변량 시계열 데이터가 자기 상관 및 교차 상관을 모두 가지는 경우에도 적용할 수 있으며, 다양한 주변 상황에 맞추어 관리한계를 수리적으로 추정함으로써 관리도 실행을 위한 준비 시간을 크게 단축시킬 수 있어, 환경 변화가 심하고 관계가 복잡하게 얽혀있는 다변량 프로세스 모니터링 시 더욱 효율적이고 효과적으로 사용될 수 있을 것으로 생각된다.