시스템을 설계할 때에는 시스템에 요구되는 성능을 비롯해서 고장의 발생 정도, 원자재 비용, 크기 등 다양한 측면에서 검토가 이루어진다. 그 중 신뢰도는 시스템 고장이 발생하였을 경우 치명적인 결과를 양산하는 시스템에 특히 중요하게 다뤄지게 된다. 신뢰도는 신뢰도가 높은 부품을 사용하거나, 유사한 기능을 가진 부품을 중복해서 사용함으로써 향상시킬 수 있다. 동일한 기능을 가진 부품은 다양하게 있으며, 어떤 부품을 사용하느냐에 따라 시스템의 신뢰도, 비용, 크기 등이 달라질 수 있다. 중복구조에 대한 중복할당 최적화 문제는 NP-hard 문제로 Fyffe et al.(1968) 이후로 다양한 문제와 최적화 방법에 대하여 연구가 되었다. 중복할당 문제에서 가장 기본적으로 다루어진 문제는 m개의 서브시스템을 가지는 시스템의 병렬-직렬 문제로 각 i번째 서브시스템에 중복 개수 n_i를 결정하는 문제인데, 이 때 시스템의 개발 비용, 부피, 무게 등이 제약으로 사용된다(Chung, 2015).

다계층 시스템은 부품들 간의 관계가 나무 형태로 상하 구분이 가능한 시스템을 나타낸다. 예를 들어, Figure 1의 시스템은 A, B, C 품목으로 구성이 되며, A는 A1, A2의 품목으로 구성되어 있음을 나타낸다.

다계층 시스템의 중복할당 문제는 경로집합에서 단 하나의 품목만 중복이 가능한 다수준 중복 할당 문제(MRAP; multi-level redundancy allocation problem)와 두 개 이상의 품목이 중복이 가능한 다중 다수준 중복 할당 문제(MMRAP; multiple multi-level redundancy allocation problem), 중복 품목에 대해 재중복이 가능한 다수준 중복 할당 최적화 문제(MRAOP; multi-level redundancy allocation optimization problem)로 나뉜다.

Yun and Kim(2004)은 다계층 시스템에 대해 MRAP를 처음 소개하였으며 경로집합에서 단 하나의 품목만 중복이 가능한 경우에 대해 유전알고리즘을 활용하여 최적화 방법을 제시하였다. 경로집합이란 최하위 수준의 하나의 품목에서 최상위시스템으로 이어지는 품목의 집합을 의미하며 Figure 1에서는 S-A-A1, S-A-A2, S-B-B1 등이 있다(Yun et al, 2017).

Kumar et al.(2008)은 MRAOP를 제시하였으며 계층적 유전 알고리즘, 미미틱 알고리즘, 박테리아 진화 알고리즘 등을 활용한 최적화 방법이 연구되었다(Yun et al, 2017). MRAP와 MMRAP, MRAOP의 문제는 각 품목이 한 가지 종류인 경우에 최적 중복 할당 방법을 나타내며, 동일한 기능을 가진 다양한 종류의 품목에 대한 선택은 고려하지 않고 있다. Chung(2015)은 MRAP에서 각 품목의 종류가 다양하게 존재할 경우 최적의 부품 선정과 중복 할당 수량을 다루었다. 최적화를 위해 유전 알고리즘과 미미틱 알고리즘을 활용하였으며, 이에 대한 비교 결과를 제시하였다. MRAP는 경로집합에서 단 하나의 중복만 허용함으로 인해 유효해를 찾는 과정이 복잡하고 어려우며, 이로 인해 탐색시간이 길어지는 단점을 가지고 있다. 본 연구에서는 대안부품을 가지는 MRAP에서 입자 군집 최적화(particle swarm optimization) 방법을 다루며 실험을 통해 미미틱 알고리즘과의 성능을 비교하고자 한다.

단, 본 연구에서는 모든 품목이 중복 설계시 고려 대상이 되지만, 경로집합에서 단 한 개의 품목만이 중복 대상으로 선정되어지는 MRAP 모형을 기반으로 하고 있으며, 그 외 중복 설계 모형을 위한 가정 및 기호는 아래와 같다(Chung, 2015).

<가정>

(1) 각 품목들은 직렬로 연결되어 있다.

(2) 중복 품목 및 모든 품목들의 고장시간은 통계적으로 독립이다.

(3) 각 품목들의 신뢰도는 알려져 있고 확정적이다.

(4) 각 품목과 그 품목의 대안 품목들 중에 단지 하나의 품목만이 중복 가능하다.

(5) 경로집합에서 단 한 개 수준에 품목만이 중복 대상으로 선정될 수 있다.

위에서 언급한 ‘품목’은 시스템, 모듈, 부품을 나타내는 공통된 의미로 사용되며, 시스템은 최상위 품목, 부품은 최하위 품목, 모듈은 중간 수준 품목을 의미한다. 대안 부품을 고려하기 위해 Figure 1에서 A, B, ..., C₁, C₂등을 품목의 ‘군’으로 표현하며, 군에 사용 가능한 품목이 2종류 있는 경우 A1, A2, ⋯C11, C12와 같이 표현한다.

<기호 및 정의>

R_s : 전체 시스템 신뢰도

i_f : i 군의 경로 집합

m_i : 위치 i에 대체 가능한 대안 부품들의 수

N : 품목 군의 수

l_c : 최하위 품목 군의 집합

yij : i 군의 j번째 종 품목의 사용 여부 (0, 1)

xij : i 군의 j번째 종 품목의 사용 개수

ppk : p군의 k번째 종의 품목이 지역 최적화 대상 품목으로 선택될 확률

Rpk : p군의 k번째 종 품목의 신뢰도

C(x : 중복할당 수를 고려하였을 경우 p군의 k번째 종으로 인한 소요 비용

C_T : 시스템 비용한계

subject to

본 연구에서는 비용한계가 주어졌을 때 시스템 신뢰도를 최대화하는 문제로 식(1)은 다계층 시스템에 중복할당수가 결정되었을 때 시스템의 신뢰도를 계산하는 목적함수이며, 식(2)는 비용한계, 식(3)은 경로집합의 제약과 한 개의 군에서는 한 종의 품목만을 사용할 수 있다는 가정을 나타낸다.

입자 군집 최적화는 자연에서 물고기, 새와 같은 군집 활동을 하는 행위에 착안하여 Kennedy and Eberhart(1995)에 의해 개발되었다. 유전알고리즘이나 개미알고리즘에서 중요한 개념으로 사용되는 교차, 돌연변이, 페르몬과 같은 연산을 수행하지 않으며, 입자들의 변화는 과거의 군집활동을 바탕으로 이루어진다.

x_i와 v_i는 i 번째 입자의 위치와 속도 벡터, ε₁와 ε₂는 0과 1사이 난수값, α와 β는 가중치, g^*와 xi*는 현재까지 전체 최적해와 i번째 입자의 최적해를 나타낼 때, t+1세대에서의 i번째 입자의 위치와 속도는 다음과 같이 구할 수 있다.

입자 군집 최적화 방법은 연속적 비선형 함수를 최적화 하는데 많이 활용 되어지고 있다. 본 연구에서 다루고자 하는 중복 할당 최적화는 각 품목의 종류와 중복 수량을 결정해야 하는 것으로 최적화의 변수가 양의 정수의 형태로 나타난다. 이러한 문제에 대해 Yeh(2009)는 Yun et al.(2007)이 제시한 MMRAP에 대해 이단계 이산 입자 군집 최적화 방법을 제시하였으며, Yeh et al.(2016)에서는 GMRAP(general multi-level redundancy allocation problem)을 소개하고 Yeh(2009)에서 제시한 방법을 활용하여 최적화 방법을 제시하였다. 본 연구에서는 대안 품목을 고려한 MRAP에서 이산 입자 군집 최적화를 위해 해의 표현, 해의 상한값, 해의 평가, 최적화 절차를 제시하고 최적화 절차에서 t+1세대에서의 i번째 입자의 위치와 속도 산출 방법은 Yeh(2009)가 제시한 방법을 인용하여 적용하고자 한다.

본 연구에서는 입자 군집 최적화 방법을 활용하여 다계층 시스템의 최적 중복 할당 방법을 다루었다. 특히, 동일한 기능을 수행하는 대안 부품이 존재할 경우 비용과 신뢰도 측면을 고려하여 최적화 방법을 제시하였다. 3수준과 4수준의 실험 예제를 통해 입자 군집 최적화 방법에 대한 결과를 검증하였으며, 기존에 제시된 미미틱 알고리즘과의 비교 결과 시스템의 구조가 복잡해 질수록 해의 질과 탐색 시간 측면에서 입자 군집 최적화 방법이 더욱 좋은 결과를 보여주었다. 본 연구에서는 한 개의 군에서 한 개의 종만을 선택해서 최적화하는 방법을 다루었다. 향후에는 한 개의 군에서 서로 다른 종을 섞어서 중복을 하는 경우와 가용도 측면에서의 변화와 수리 정책에 대해 고려해 볼 수 있을 것 같다.